【１】メビウス変換の不動点

　この変換の不動点は

　　ｚ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

　これは２次方程式

　　ｃｚ^2＋（ｄ−ａ）ｚ−ｂ＝０

だから，一般には２根

　　ｚ＝｛（ａ−ｄ）±√（（ｄ−ａ）^2＋４ｂｃ）｝／２ｃ

をもつ．

　ｃ＝０のとき不動点のひとつは∞である．不動点がひとつに重なってしまうための条件は

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ａ＋ｄ）^2−４ａｄ＋４ｂｃ＝０

である．

　もし，変換

　　Ｔ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

が，ａｄ−ｂｃ＝１と正規化されているとすると

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ａ＋ｄ）^2−４＝０

ＴｒＴ＝ａ＋ｄより，

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ＴｒＴ）^2−４＝０

　　ｚ＝｛（ａ−ｄ）±√（（ＴｒＴ）^2−４）｝／２ｃ

になる．

　Ｄ＞０で，相異なる２根ａ，ｂをもつときは

　　（ｗ−ａ）／（ｗ−ｂ）＝ｋ（ｚ−ａ）／（ｚ−ｂ）

という形に書ける（ａ，ｂで決まるシュタイナーの円）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】トレースによるメビウス変換の分類

［１］斜航型

　ＴｒＴが−２以上２以下の実数でないとき，点の軌道は反発的固定点かららせん状にでていき，吸引的固定点に吸い込まれていく．

［２］双曲型

　ＴｒＴが−２以上２以下でない実数のとき，点の軌道はらせんでなく２つの固定点を通る円に沿って動く．

［３］楕円型

　ＴｒＴが−２より大きく２未満の実数のとき，２つの中立的固定点をもち，点の軌道は固定点の周りの円に沿って動く．

［４］放物型

　ＴｒＴ＝±２のとき，固定点を１つだけもち，この点が吸引的固定点であり，反発的固定点でもある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝