■フェルマーの最終定理と有限体(その34)

y^2=x^3-x (modp)

を満たすFpの数の組(x,y)の個数Npを調べてみます。

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[1]p=3

x=0→x^3-x=0→y=0

x=1→x^3-x=0→y=0

x=2→x^3-x=0→y=0

3個

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[2]p=5

x=0→x^3-x=0→y=0

x=1→x^3-x=0→y=0

x=2→x^3-x=1→y=1,4

x=3→x^3-x=4→y=2,3

x=4→x^3-x=0→y=0

7個

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p 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

Np 3 7 7 11  7 15 19 23 29 31 39 41

pが4で割って3余る素数ならば、Np=pが成り立ちます。-1はFpの平方数ではない。

pが4で割って3余る素数ならば、・・・

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pが4で割って3余る素数ならば、2つの平方和で表せない

pが4で割って1余る素数ならば、2つの平方和で表せる

p=a^2+b^2,aは奇数、bは偶数

bが4で割り切れる偶数のとき、aを4で割って1余る奇数

bが4で割って2余る偶数のとき、aを4で割って3余る奇数とすると、pは一意に分解されます。

p=a^2+b^2の形で

5=(-1)^2+2^2

13=3^2+2^2

17=1^2+4^2

29=(-5)^2+2^2

37=(-1)^2+6^2

41=5^2+4^2

p-2a=Npが成り立つことがわかります。

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