レムニスケートの弧長ｌは

　 l=integral(0-r){1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)dr

　　=integral(0-r)2a^2/{4a^4-r^4}^(1/2)

とくに，a=１／√２とおくと，

　 l=integral(0-r)1/{1ｰr^4}^(1/2)

となります．

　このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を

　 f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　 u=F(z)=integral(0-z)f(x)dx

と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．ただし，レムニスケート積分が第１種楕円積分なのに対し，楕円弧長を求める積分は第２種楕円積分であり，パラレルな関係にはありません．

　F(z)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)を求めてみることにしましょう．実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると

　 F(z)=z+1/10z5+1/24z9+5/208z16+･･･

この逆関数のべき級数展開は

　 sl(u)=u-1/10u5+1/120u9+11/15600u13+･･･

　　　　=u(1-1/10u4+1/120u8+･･･)

　　　　=ug(u4)

となります．

　また，

　 integral(0-1)f(x)dx=1.311028･･･=ω

とおくことにしましょう．4ωがレムニスケートの全長です．すなわち，レムニスケートサインは周期4ωをもつことがわかります．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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