【ヤコビの楕円関数】

　ヤコビは第１種不完全楕円積分

　 f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　 ω=F(z)=integral(0-Z)f(x)dx

に対して，正弦関数をまねてF-1(ω)をsnω=F-1(ω)と定義し，

　 sn-1z=integral(0-Z)f(x)dx

を得ました．また，三角関数にならって

　 cnω=sqr(1-sn2ω),dnω=sqr(1-k2sn2ω)

と定義しました．関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数です．また，ヤコビは指数関数に対応するテータ関数（周期関数）で，ヤコビの楕円関数を表すことにも成功しています．

　第１種不完全楕円積分において，ｋ→０とすると，

　 K(0)=integral(0-Z)f(x)dx=sin-1z

ｋ→１とすると，

　 K(1)=integral(0-Z)f(x)dx=tanh-1z

ですから，snωはsinωとtanhωの中間に位置していることがわかります．実際にベキ級数展開を求めると，

　 snω=ω-(1+k2)/6ω3-(3+2k2+3k4)/40ω5+･･･

が得られます．

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