【楕円積分】

　楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，楕円関数でパラメトライズされる曲線です．歴史的にいうと楕円関数は楕円積分を源とし，楕円積分の逆関数として導入されました．その道筋を振り返ってみることにしましょう．

　円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，

　 integral(0-1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

を計算するとこれは

　 integral(0-1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

となります．そこで

　 f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

　 2integral(0-1)f(x)dx=3.141592･･･=π

となり，これをπの定義とし，完全円積分と呼ぶことにします．

　 F(z)=integral(0-Z)f(x)dx

は不完全円積分ですが，これから

　 sinω=F-1(ω),cosω=F-1(π/2-ω)

と定義すると

　 sin-1z=integral(0-Z)f(x)dx

が得られます．

　P(x)を２次の多項式とするとき，

　 f(x)=1/(P(x))^(1/2)

　 F(z)=integral(0-z)f(x)dx は対数あるいは円関数（三角関数）になりますが，３次，４次の多項式の場合はそうはいかず，初等関数をいくら組み合わせても得られない関数が登場します．P(x)を３次，４次の多項式とするとき，F(z)は楕円積分，その逆関数F-1(z)は楕円関数と命名されています．３次でも４次でもx=1/tとおけば

　 dx/{x(x-a)(x-b)(x-c)}^(1/2)=-dt/{(1-at)(1-bt)(1-ct)}^(1/2)

となりますから，本質的には同じことです．また，P(x)を５次以上の多項式とするとき，当該の関数は超楕円積分，超楕円関数と呼ばれます．

　 f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

　 u=F(z)=integral(0-z)f(x)dx

は，レムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．また，単振り子の振動周期や楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする

不完全積分

　 f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　 f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

　 F(z)=integral(0-Z)f(x)dx

が絡んできます．

　 f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　 K(k)=integral(0-1)f(x)dx

を第１種完全楕円積分，

　 f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

　 E(k)=integral(0-1)f(x)dx

を第２種完全楕円積分と呼びます．

　これらの不定積分は初等関数では表せませんが，たとえば，第１種完全楕円積分は

　 K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}

とベキ級数展開できます．完全楕円積分を用いると，

楕円：x2/a2+y2/b2=1の全周は4aE(b/a)

レムニスケート：(x2+y2)2=2a2(x2-y2)の全周はroot(8)aK(1/root(2))

糸の長さｌの単振り子の周期はT=4root(l/g)K(k)

したがって，振幅が小さいときT〜2πroot(l/g)と表すことができます．

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