ｌｏｇｘ＝∫(1,x)ｄｔ／ｔ

　　ａｒｃｔａｎｘ＝∫(0,x)ｄｔ／（１＋ｔ^2）

より，有理関数

　　ｔ／（ａｔ＋ｂ），（ｄｔ＋ｅ）／（ａｔ^2＋ｂｔ＋ｃ）

の積分は，ｌｏｇｘないしａｒｃｔａｎｘに帰着される．

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［１］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）＝ａｒｃｔａｎｘ

［２］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）

［３］∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝１／２・ｘ（１＋ｘ^2）^1/2＋１／２・ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）

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［２］∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）

　ｔ＝ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2とおく．

　ｘ＝（ｔ^2−１）／２ｔ，ｄｘ＝（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ　

　（１＋ｘ^2）^1/2＝ｔ−ｘ＝（１＋ｔ^2）／２ｔ

　したがって，

∫ｄｘ／（１＋ｘ^2）^1/2＝∫２ｔ／（１＋ｔ^2）・（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ

＝∫ｄｔ／ｔ＝ｌｏｇｔ＝ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）

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［３］∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝１／２・ｘ（１＋ｘ^2）^1/2＋１／２・ｌｏｇ（ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2）

　∫（１＋ｘ^2）^1/2ｄｘ＝∫（１＋ｔ^2）／２ｔ・（１＋ｔ^2）／２ｔ^2ｄｔ

＝１／４・∫（ｔ^4＋２ｔ^2＋１）／ｔ^3ｄｔ

＝１／４・∫（ｔ＋２／ｔ＋１／ｔ^3）ｄｔ

＝１／４｛１／２・ｔ^2＋２ｌｏｇｔ−１／２ｔ^2｝

＝１／８｛ｔ^2−１／ｔ^2｝＋１／２・ｌｏｇｔ

　ｔ＝ｘ＋（１＋ｘ^2）^1/2

　１／ｔ＝（１＋ｘ^2）^1/2−ｘ

　ｔ^2−１／ｔ^2＝４ｘ（１＋ｘ^2）^1/2

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