■楕円曲線と弾性曲線(その13)

 弾性曲線の性質は

  f(x)=∫(0,x)x^2dx/(a^4−x^4)^1/2

で与えられる.また0から(x,y)までの弧長は

  s(x)=∫(0,x)dx/(a^4−x^4)^1/2

である.

 このとき,

  f(a)s(a)=πa^2/4

が成り立つことを発見した.

・∫(0,1)dx/(1−x^4)^1/2=Γ^2(1/4)/(8π)^1/2

===================================

【おまけ】

 ・∫(-∞,∞)dx/(1+x^4)=π/√2

 ・∫(-∞,∞)sinxdx/x=π

 ・∫(-∞,∞)dx/x^α(1+x)=π/sinαπ

[1]・∫(-∞,∞)dx/(1+x^4)=π/√2

・∫(0,1)x^4(1−x)^4dx/(1+x^2)=22/7−π

・∫(0,1)dx/(1−x^4)^1/2=Γ^2(1/4)/(8π)^1/2

===================================

[2]・∫(-∞,∞)sinxdx/x=π

 ・∫(-0,π)sinxdx/x=1.8519369・・・=γ

  2γ/π=1.1789797444・・・

===================================

[3]・∫(-∞,∞)dx/x^α(1+x)=π/sinαπ

・∫(0,∞)exp(−x)dx/(1+x)=0.596347355・・・

===================================