■楕円曲線と弾性曲線(その11)

  dx/(1−x^2)^1/2=dy/(1−y^2)^1/2

  x^2+y^2=c^2+2xy(1−c^2)^1/2

からの類推で,ファニャーノは

  x^2y^2+x^2+y^2−1=0

を与えたと思われる.

 一般には,次数≦2の多項式P,Qに対して

  Φ(x,y)=P0(x)y^2+2P1(x)y+P2(x)=0

  Φ(x,y)=Q0(y)x^2+2Q1(y)x+Q2(y)=0

を解けば

  Φ(x,y)=0

で定義される曲線は

  z^2=F(x),F=P1^2−P0P2

  ω^2=G(y),G=Q1^2−Q0Q2

の双有理同値である.

 さらに,

  1/2・∂Φ/∂x=Q0(y)x+Q1(y)

  1/2・∂Φ/∂y=P0(x)y+P1(x)

より,Φ=0を微分して

  ±dx/√F(x)=±dy/√G(y)

が得られる.

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