ω（ｚ）＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2

において，もし，置換

　　ｚ　→　ｕ＝ｆ（ｚ）

が微分ω（ｚ）をω（ｕ）＝ｎω（ｚ）に変換するならば，置換

　　ｚ　→　ｕ＝ｚ｛（１−ｕ^2）／（１＋ｕ^2）｝^1/2＋ｕ｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2／１−ｕｚ｛（１−ｕ^2）／（１＋ｕ^2）・｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2

はω（ｕ）＝（ｎ＋１）ω（ｚ）に変換する．

　このことから，オイラーは

　　ｖ＝｛ｚ（１−ｕ^4）^1/2＋ｕ（１−ｚ^4）^1/2｝／（１＋ｕ^2ｚ^2）

が，

　　ω（ｖ）＝ω（ｚ）＋ω（ｕ）

を意味することに思い至った．∫ω（ｚ）の加法定理である．

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　また，微分方程式

　　ｄｘ／√Ｐ（ｘ）＝±ｄｙ／√Ｐ（ｙ）

の一般解を，正準形Φ（ｘ，ｙ）＝０，

　ｘについてもｙについても２次，たとえば，ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０

に帰着させて求めようとした．

　　ｖ＝｛ｚ（１−ｕ^4）^1/2＋ｕ（１−ｚ^4）^1/2｝／（１＋ｕ^2ｚ^2）

のｖ，ｘ，ｕをｙ，ｘ，ｃで置き換えると

　ｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^4）^1/2

と書くことができる．

　ｃ＝１の場合が，ファニャーノが与えた

　　ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

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