１７３０年，オイラーは以下の問題を取り上げた．

［Ｑ］　　ω＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

は既知の関数（対数や逆三角関数）を用いて積分できるだろうか？

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　オイラーは１７３８年にディオファントス方程式

　　ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2

に関するフェルマーの定理の証明を与えたが，そのとき，ωを有理形の微分に変換する置換は，ｚ^2＝１ｘ^4の有理数解，したがって，フェルマー方程式の整数解を与えることに思いあたった．

　１７５１年になって，埋もれたままになっていた楕円積分に関するファニャーノの論文を受け取って

　　∫Ｆ（ｘ）ｄｘ／√Ｐ（ｘ），Ｐは４次の多項式，Ｆは任意の多項式

の加法定理，乗法定理の証明を与えた．オイラーは，さらに，微分方程式

　　ｄｘ／√Ｐ（ｘ）＝±ｄｙ／√Ｐ（ｙ）

の一般解を求めようとしたのである．

　これらの詳細については

［参］アンドレ・ヴェイユ「数輪」日本評論社，ｐ２４５〜

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［まとめ］フェルマー方程式には解がないことから，楕円積分

　　ω＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

は既知の関数（対数や逆三角関数）を用いて積分できるだろうか？　→　Ｎｏ

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