【懸垂曲面】

　懸垂線の問題を解いたのはベルヌーイであったのですが，変分法によって，懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることも簡単に導かれます．

（証明）y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

　これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであり，懸垂曲面（カテノイド）と呼ばれています．なお，回転極小曲面は懸垂面のみであることが示されています．

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