変数ｙが2次で、もう一つの変数ｘが３次式で表される曲線を考える。

[1]y^2=ax^3

　　x=0が３重根（ケプラーの第３法則に現れる）

[2]y^2=a(x-b)^3

x=bが３重根（半立方放物線：放物線との間にインボリュート・エボリュートという関係がある）

　　ホイヘンスの円錐振り子時計に使われる

[3]y^2=a(x-b)(x-c)(x-d)

　　楕円曲線

　　フェルマーの最終定理の証明にも現れる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

楕円積分

振り子の周期はT=2π√(l/g)〜2√l (25センチで１秒、１メートルで2秒)

正確には楕円積分

T=2π√(l/g)∫(0,1)dx/{(1-x^2)(1-k^2x^)}^1/2、k=sin(α/2)

角度30°のとき、2.036 (1.8％増).

角度60°のとき、2.148 (7.4％増).

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

弾性曲線

鎖とは曲げに対してエネルギーが蓄えられない１次元の線という意味であるが、鎖の２点を固定してその間で垂れ下がる形状が懸垂線である。

もし、曲げたものが元に戻るとすればその性質が弾性である。

曲率κ(t)、弧長l(t)

弾性エネルギーE(γ)=∫(a,b)κ(t)^2dt　　　（もっと一般には E(γ)=∫(a,b)κ(t)^2l(t)dt）

曲線の長さと端点、端点での接線を固定して、弾性エネルギーに関する変分問題の解を弾性曲線という。

これはピアノ線をまげたときにできる形を数学的に表現したものである

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

κ(t)自身はｔ＝∫2ｄκ/{ｃ^2-（κ^2-λ）^2}^1/2 で定まる楕円関数の一つである。

楕円曲線は歴史的に楕円関数の研究動機の一つであった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝