10!で300万を超えるから、100！、1000！はどれくらい巨大な数になるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

∫(1,n)logxdx=n(logn-1)+1

1-1/8＜log(n!)-1/2logn-n(logn-1)＜1

1-1/8+1/2logn+n(logn-1)＜log(n!)＜1+1/2logn+n(logn-1)

-(n-.875)+(n+1/2)logn＜log(n!)＜-(n-1)+(n+1/2)logn

底をe→10に変換すると

-(n-.875)/log10+(n+1/2)logn＜log(n!)＜-(n-1)/log10+(n+1/2)logn

n=1000を代入して整理すると，

3001.5-(1000-.875)/log10＜log(1000!)＜3001.5-(1000-1)/log10

2567.58＜log(1000!)＜2527.73

1000!の桁数は2568である。１０^2500は2501桁である。1000!は１０^2500よりも大きかったことになる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=70を代入して整理すると，

70.5log70-(70-.875)/log10＜log(70!)＜70.5log70-(70-1)/log10

100.059＜log(70!)＜100.113

70!の桁数は101である。１０^100は101桁である。70!は10^100より大きいと思われる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝