（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

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（答）この問題は「y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい」と等価です．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられます．懸垂線（カテナリー）の問題を変分法によって解いたのはベルヌーイであったのですが，これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであることが導かれます．

f(x)=cosh(αx)/α が解である

ただし,x>0におけるy=coshx/xの最小値はおよそ1.5088である．したがって，この値よりもyが小さかったら解はない．1.5088=1/0.6627

針金でできた半径１の２つの輪があるとき，その間隔が１．３２５４よりも小さければカテノイドができ，大きければできない．

αが存在しないときには汎関数自体が存在しない。変分法では存在自体が問題になるのである。

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　f(x)/x=cosh(αx)/αx

x=1,f(x)=1.8で計算してみると、α=0.695,α=1.90という２つの解が得られる。対応するカテノイドを描いてみるとα=1.90は面積最小を与えるが、α=0.695は最小を与えない。出てきたものがすべて最小を与えるとは限らない。最小となるための必要条件を追求してきただけなのである。

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半径aの円形の針金2本が平面z=0とz=hに置かれているものとする。

曲面はz=R(z)をｚ軸について回転させたものとする。

面積が最小となるためには、最終的にRR"-(R')^2=1

R(z)=1/c・cosh(cz+d)

R(0)=a,R(h)=aより、

R(z)=1/c・cosh(c(z-h/2)),cosh(ch/2)=ca

ξはxtanhx=1の正の根1.1997，1/2・sinhξ=0.7544

[1]a＞h/2・sinhξのとき、２つの解ｃ＞0をもつ

[2]a=h/2・sinhξのとき、1つの解ｃ＞0をもつ

[3]a＜h/2・sinhξのとき、ｃ＞0なる解をもたない

２つの針金の輪が離れすぎると極小曲面は存在しない。

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