モーリーの三角形の１辺の長さは，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

で与えられます．この最大値は８Ｒ・(ｓｉｎπ/9)^3

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　三角形ＡＢＣに対応するモーリーの三角形をＰＱＲとする．７つのコンパートメントの面積を求める方がいいのかもしれないが，まずずΔＡＲＱについて計算してみたい．

　Δに正弦定理を適用すると

　ＡＲ／ｓｉｎ（β／３）＝ｃ／ｓｉｎ（π−（α＋β）／３）＝ｃ／ｓｉｎ（（α＋β）／３）

　ｃ＝２Ｒｓｉｎγであるから

　　ＡＲ＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（α＋β）／３）

＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（π−γ）／３）

＝８Ｒｓｉｎγ／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎ（（π＋γ）／３）

　同様に

　ＡＱ＝８Ｒｓｉｎγ／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎ（（π＋β）／３）

ΔＡＲＱに余弦定理を適用すると

　　ＲＱ^2＝６４Ｒ^2ｓｉｎ^2γ／３・ｓｉｎ^2β／３｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝

　ここで，

｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝＝ｓｉｎ^2α／３が示されるので，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

これはα，β，γに関して対称であるから，モーリーの定理が示されたことになる．

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モーリーの三角形は内角の３等分線についてもものですが、外角の3等分線も同様に交わり、正三角形をつくります。

さらに外角の三等分線のうち使わなかったものと内角の３等分線を伸ばしたものの交点を作ると、さらに３つの正三角形を得ることができます。

全部で５つの正三角形！

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