（問題）

α＋β+γ＝πのとき、

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

　これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．

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モーリーの定理について

　　ｓｉｎα/3ｓｉｎβ/3ｓｉｎγ/3≦?

　　２ｓｉｎβ/3ｓｉｎγ/3＝ｃｏｓ（β/3−γ/3）−ｃｏｓ（β/3＋γ/3）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β/3−γ/3）−ｃｏｓ(π/3-α/3)

　　ｓｉｎα/3ｓｉｎβ/3ｓｉｎγ/3

　＝１／２ｓｉｎα/3（ｃｏｓ（β/3−γ/3）−ｃｏｓ(π/3-α/3)）

　≦１／２ｓｉｎα/3（１−1/2ｃｏｓα/3−√3/2ｓｉｎα/3）

x=sinα/3 [0,√3/2]

y=x(2-(1-x^2)^1/2-√3x)

y'=2-(1-x^2)^1/2-√3x+x(x(1-x^2)^-1/2-√3)

y'=(2-(1-x^2)^1/2+x^2(1-x^2)^-1/2-2√3x)

y'=(1-x^2)^-1/2(2(1-x^2)^1/2-1+x^2+x^2-2√3x(1-x^2)^1/2)

y'=(1-x^2)^-1/2(-1+2x^2+(2-2√3x)(1-x^2)^1/2)・・・結構面倒だ

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　　ｓｉｎα/2ｓｉｎβ/2ｓｉｎγ/2≦?

　　２ｓｉｎβ/2ｓｉｎγ/2＝ｃｏｓ（β/2−γ/2）−ｃｏｓ（β/2＋γ/2）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β/2−γ/2）−ｃｏｓ(π/2-α/2)

　　ｓｉｎα/2ｓｉｎβ/2ｓｉｎγ/2

　＝１／２ｓｉｎα/2（ｃｏｓ（β/2−γ/2）−ｃｏｓ(π/2-α/2)）

　≦１／２ｓｉｎα/2（１−ｓｉｎα/2）

x=sinα/2 [0,1]

y=x(1-x)

y'=1-2x

x=1/2のとき　ｓｉｎα/2ｓｉｎβ/2ｓｉｎγ/2＝1/8・・・簡単だ

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sinα/2 =1/2

α=60°だから

sinα/3 =sin20になるはず

sinα=-4(sinα/3)^3+3(sinα/3)=√3/2

の3次方程式が得られるはずである

-1+2x^2+(2-2√3x)(1-x^2)^1/2=0

(2-2√3x)^2(1-x^2)=(2x^2-1)^2・・・xに関する4次式となった

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一方、-4(sinα/3)^3+3(sinα/3)=√3/2

(-4x^3+3x)^2=3/4

64X^6-72x^4+36x^2-3=0・・・ →数値計算ではどちらも正しい。

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