［１］シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．

　シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．メビウス変換

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換する．（この変換は円は円に移り，直線も円へ移るという性質を併せもつ．）

　　１＝（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）

　　−１＝（−ａ＋ｂ）／（−ｃ＋ｄ）

　　α＝ｂ／ｄ

を解くと

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，α，１］に移されることがわかる．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　［０，ｉ，−ｉ］を［１，−１，０］に移す変換は

　　ｗ＝−（ｚ＋ｉ）／（３ｚ−ｉ）

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋α）／（αｗ−１）

であるが，一般には

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

の逆変換は

　　ｚ＝（ｄｗ−ｂ）／（−ｃｗ＋ａ）

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［２］シュタイナーの円

　少しだけ補足しておきたい．

　１次分数変換（メビウス変換）

　　ｗ＝ｆ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は複素数球面上で考えると１つの回転に対応していて，たとえば，数ｚを

　　（ｚ−１）／（ｚ＋１）

に置き換えるには，北極と南極が赤道のところにくるように球を９０°回転させればよい．この写像は等角写像になる．

　この変換の不動点は

　　ｚ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

これは２次方程式だから一般には２根をもつ．ｃ＝０のとき不動点のひとつは∞である．不動点がひとつの重なってしまうための条件は

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝０

である．

　もし，ａｄ−ｂｃ＝１と正規化されているとすると

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ａ＋ｄ）^2−４＝０

　Ｄ＞０で，相異なる２根ａ，ｂをもつときは

　　（ｗ−ａ）／（ｗ−ｂ）＝ｋ（ｚ−ａ）／（ｚ−ｂ）

という形に書ける（ａ，ｂで決まるシュタイナーの円）．

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［３］直交する円族

　ｘ軸上の２定点を通る円族を考える．その中心は軸を共有し同軸（ｙ軸）上にある．次に，これらすべての円に直交する円族（交点における接線が直交する円族）を構成することができる．その中心は軸を共有し同軸（ｘ軸）上にある．後者の円族同士は互いに交わらない．

　この２つの円族は反転によって得られる．→「メビウス変換とシュタイナーの定理」参照

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