■方ベキの定理(その13)

[1]シュタイナーの定理

 小円を大円の内部におき,この2つの円の中間に次々に接する円列を作る.たいていの場合,最後の円は重なってしまい,この円列は互いに接する円環をなさない.しかしときとして完全な円環をなす場合がある.このとき,最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす.

 シュタイナーの定理は最初の2円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる.メビウス変換

  w=(az+b)/(cz+d)

は円を円に変換する.(この変換は円は円に移り,直線も円へ移るという性質を併せもつ.)

  1=(a+b)/(c+d)

  −1=(−a+b)/(−c+d)

  α=b/d

を解くと

  w=(z+α)/(αz+1)

は半径1の円板をそれ自身に移し,[−1,0,1]はそれぞれ[−1,α,1]に移されることがわかる.(円板の中心が円板の中心に移されるわけではない).

 [0,i,−i]を[1,−1,0]に移す変換は

  w=−(z+i)/(3z−i)

 メビウス変換

  w=(z+α)/(αz+1)

の逆変換は

  z=(−w+α)/(αw−1)

であるが,一般には

  w=(az+b)/(cz+d)

の逆変換は

  z=(dw−b)/(−cw+a)

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[2]シュタイナーの円

 少しだけ補足しておきたい.

 1次分数変換(メビウス変換)

  w=f(z)=(az+b)/(cz+d)

は複素数球面上で考えると1つの回転に対応していて,たとえば,数zを

  (z−1)/(z+1)

に置き換えるには,北極と南極が赤道のところにくるように球を90°回転させればよい.この写像は等角写像になる.

 この変換の不動点は

  z=(az+b)/(cz+d)

これは2次方程式だから一般には2根をもつ.c=0のとき不動点のひとつは∞である.不動点がひとつの重なってしまうための条件は

  D=(a−d)^2+4bc=0

である.

 もし,ad−bc=1と正規化されているとすると

  D=(a−d)^2+4bc=(a+d)^2−4=0

 D>0で,相異なる2根a,bをもつときは

  (w−a)/(w−b)=k(z−a)/(z−b)

という形に書ける(a,bで決まるシュタイナーの円).

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[3]直交する円族

 x軸上の2定点を通る円族を考える.その中心は軸を共有し同軸(y軸)上にある.次に,これらすべての円に直交する円族(交点における接線が直交する円族)を構成することができる.その中心は軸を共有し同軸(x軸)上にある.後者の円族同士は互いに交わらない.

 この2つの円族は反転によって得られる.→「メビウス変換とシュタイナーの定理」参照

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