【２】三角形についての公式

　任意の三角形に対して

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

が成り立ちます．

　この式は

　　γ＝π−（α＋β）

として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明されます．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられるのです．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではありませんが，三角形の普遍的な調和を内包しているように思えるというのがその理由です．

　同様に，任意の三角形に対して

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２

　　ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　　ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２

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　等式の世界も面白いのですが，不等式の世界だって奥深いものがあります．鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

前項より，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

したがって，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３

ですから，

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３　　　（等号は正三角形のとき）

を容易に証明することができます．

　少し気分を変えて，次の不等式はどうでしょうか？

（問題）

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

これより極大値を計算すると，３√３／８が得られます．

　なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，

　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦定理

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値です．

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