最後に、三角形に関する演習問題を提示しておきます。

ａ）任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ、面積をΔとする。外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ。また、与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ。

（ヒント）正弦定理

ｂ）Ｒ≧２ｒを証明せよ。等号が成り立つのはどのようなときか。

（ヒント）外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき、Ｒ2 −２Ｒｒ＝ｄ2 が成り立っています（オイラーの定理）。この関係式を導き出せば、ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが、この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで、ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です。

　ヘロンの公式とは、

Δ2 ＝（２ａ2 ｂ2 ＋２ｂ2 ｃ2 ＋２ｃ2 ａ2 −ａ4 −ｂ4 −ｃ4 ）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ2 ＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり、おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られます。

ｃ）６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで、与えられた４面体に外接、内接する球面の半径を求めよ。

　なお、三次元空間では三角形は四面体に、正方形は立方体に、正五角形は正十二面体に、円は球に拡張されると考えられます。三次元空間において四面体の外接球、内接球の半径をそれぞれＲ，ｒとすれば、Ｒ≧３ｒが成り立ちます。

　ｎ次元の幾何学の例をもう一つあげると、三角形の面積は底辺かける高さ割る２ですが、三角錐になると底面積かける高さ割る３、四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４、五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・。高次元の多面体ではこのようになることが知られています。

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