最初に、三角形に関する演習問題を提示しておきます。

任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ、面積をΔとする。外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ。

また、与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ。

Rr=abc/4s

R=abc/4△

r1=△/(s-a)

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外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒについてはなじみ深いものがあるが、傍接円の半径となるとどうだろうか？

外側の大円の半径をR

内側の小円の半径をr

半周長：s=(a+b+c)/2

r=△/s

r1=△/(s-a)

r2=△/(s-b)

r3=△/(s-c)

r・r1・r2・r3=△^4/s(s-a)(s-b)(s-c)

s(s-a)(s-b)(s-c)=△^2　　(ヘロンの公式)

1/r1+1/r2+1/r3=(s-a)/△+(s-b)/△+(s-a)/△＝(3s-a-b-c)/△=s/△＝1/ｒ

1/r1+1/r2+1/r3=1/ｒ

が得られる

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三角形の高さをha,hb,hcとする

2Δ=2sr=aha=bhb==chc

2s/(1/r)=a/(1/ha)=b/(1/hb)=c/(hc)

1/r=1/ha+1/hb+1/hc=1/r1+1/r2+1/r3

1/r1=1/hb+1/hc-1/ha

1/r2=1/hc+1/ha-1/hb

1/r3=1/ha+1/hb-1/hc

ha=2rr1/(r1-r)=2r2r3/(r2+r3)

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