直角三角形(a,b,c),a^2+b^2=c^2の内接円の半径は

c=(a-r)+(b-r)より

r=(a+b-c)/2によって与えられます。

一方、3つの傍接円の半径は

ra=(c+a-b)/2,rb=(c+b-a)/2,rc=(c+b+a)/2によって与えられます。

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この４円の半径には

[1]r+ra+rab+rc=a+b+c

すなわち、４円の半径の和は周長に等しい。

(a+b-c)/2+(c+a-b)/2+(c+b-a)/2+(c+b+a)/2=(2a+2b+2c)/2=a+b+c

[2]ra・rb=r・rc=a・b/2

これは三角形の面積である

r(a+b+c)/2=a・b/2

a^2+b^2=c^2より

(c+a-b)/2・(c+b-a)/2={c^2-(a-b)^2}/4=2a・b/4=a・b/2

(a+b-c)/2・(c+b+a)/2={(a+b)^2-c^2}/4=2a・b/4=a・b/2

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直角三角形でない場合を考える。

rsin{(π-θ)/2}=xsin(θ/2)

rcos(θ/2)=xsin(θ/2)

x=r/tan(θ/2)

c=(a-x)+(b-x)より

x=(a+b-c)/2

r=(a+b-c)/2・tan(θ/2)

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