■シュタイナーの円鎖(その7)

複素数表現を与えておきたい.

 メビウス変換

  w=(z+a)/(az+1)

の逆変換は

  z=(−w+a)/(aw−1)

である.

  |w−c|=(R−r)/2   (円)

  c=((R+r)/2・cos(2πj/n+α),(R+r)/2・sin(2πj/n+α))

  w1=((R+r)/2・cos(2πj/n+α)+(R−r)/2,(R+r)/2・sin(2πj/n+α))→z1

  w2=((R+r)/2・cos(2πj/n+α)−(R−r)/2,(R+r)/2・sin(2πj/n+α))→z2

  w3=((R+r)/2・cos(2πj/n+α),(R+r)/2・sin(2πj/n+α)+(R−r)/2)→z3

  w4=((R+r)/2・cos(2πj/n+α),(R+r)/2・sin(2πj/n+α)−(R−r)/2)→z4

 円に内接する四角形(z1〜z4)に関して,トレミーの定理

  |z3−z1||z4−z2|+|z4−z1||z3−z2|=|z2−z1||z4−z3|

が成り立つが,これは対角線の両側の優弧・劣弧上の円周角の和が180°であることに対応している.

 ここでは,

  |z1−c0|=r0,|z2−c0|=r0

  |z3−c0|=r0,|z4−c0|=r0

を満たす円の中心c0と半径r0を求めたい.

 i(π/2回転子)を用いると.

  z=ti(z2−z1)/2+(z1+z2)/2

  z=si(z4−z3)/2+(z3+z4)/2

の交点がc0となる.

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