【２】パスカルの定理

［１］パスカルの円錐曲線定理

　円錐曲線すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．

　円錐曲線には種々の形があります．直線は無限半径をもつ円ですが，２本の直線からなる退化した円錐曲線（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）＝０を考えればパップスの定理「直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．」にたどりつきます．パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つというわけで，どのような円錐曲線でもこの定理が成り立つことが主張されているのです．

　パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．

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［２］パスカルの円錐曲線定理の拡張

　円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にある．

　３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，前述のパスカルの定理は，拡張形定理（２次曲線あるいは３次曲線相互の交点が直線上に並ぶことを主張する定理）において，３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．

　この拡張形定理は楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）の結合法則をも保証するものであって，その意味では楕円曲線論，代数曲線論における基本定理の原型となる重要な定理となっていて，代数幾何学の重要な定理と深く関わっています．

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［３］オイラーの定理

　２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９個の交点のうち８個を通る３次曲線は残りの１点をも通る．

　オイラーの定理の重要な系がパスカルの拡張形定理「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９点中６点がひとつの２次曲線上にあれば，残りの３点は１直線上にある」です．一般に，２つのｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０がｎ^2個の点で交わっているとします．こられのｎ^2個の交点中，ｎ^2＋ｎ−２個の交点を通るｎ次曲線は残りのｎ−２個の点も通り，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＋ｔｇ（ｘ，ｙ）＝０

で表されます．

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