円の集合があり、どの２円の根軸も一致するとき、共軸円系（円束）をなすという。

これらの円は

j(x^2+y^2+lx+my+n)+k(x^2+y^2+px+qy+r)=0

の形で表せる

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反転を用いると、証明の見通しが良くなる。

点Pが円外にあるとき 、２接点をS,Tとすると、OP,STの交点Qが点Pの反転像である（Qは極線上にある）

点Pが円内にあるとき 、垂線との交点をS,Tとすると、S,Tを接点とする２接線の交点Qが点Pの反転像である（Qは極にある）

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２点P,Qを通る円は円Oと直交する

A'=φ(A),B'=φ(B)

A'B'=(r^2/OA・OB)・ABが成り立つ

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1直線状の４点A,P,B,Qが調和点列をなすとき、点P,Qは線分ABを等しい比に内分外分している

2/AB=1/AP+1/AQ

ABの中点Mとする。調和点列をなすとき、MP・MQ=MB^2

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