ユークリッド原論・第3巻

円の内側の点Pを通り、互いに交わる２直線ABとCDを考える。

このとき、PA・PB=PC・PDが成り立つ。

これは円周角の定理を使うと簡単に証明できる。

円の外側の点Pを通り、円と交わる２直線ABとCDを考える。

このとき、PA・PB=PC・PDが成り立つ。

特に接線の場合はPA・PB=PC・PD=(PT)^2

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円の中心をO,半径をｒとすると,方ベキに値は

PA・PB=PC・PD=(PT)^2=(OP)^2-r^2

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同心円でない2円C1,C2に関する方ベキの値が等しい点の軌跡は、2円C1,C2の中心を結ぶ直線に垂直な直線（根軸）である。

特に２円が２点A,Bで交わるとき、この２点を通る直線（根軸）となる。

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２円C1,C2と交わる円Cについて、円Cが２円C1,C2と直交するならば、円Cの中心は２円C1,C2のの根軸上にある

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中心が１直線上にない３円C1,C2,C3のうち、２円ずつが構成する3本の根軸は１点（根心）で交わる。

３円C1,C2,C3の根心がどの円の内部にもないとき、根心を中心、接線の長さを半径とする円C（根円）は３円C1,C2,C3に直交する

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どの２円もたがいに外接する３円がある。

中心を結んでできる三角形の内接円はこの３円の根円である。三角形の３辺を直径とする３円の根心は三角形の垂心である。

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[参]高橋純「円束のはなし」技術評論社

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