ｎ→∞のとき

｛１−１／３^n-1（3√１−・・・）｝^1/3＝１−１／３^n

｛１＋１／３^n-1（3√１−・・・）｝^1/3＝１＋１／３^n

が成り立つから，３乗根版を作ることができると思われた．しかし，これがうまくいかない．

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　うまくいったのは

√１＋・・・＝３３／３２＝１＋１／２^5

（１＋１／８√１＋・・・）＝１＋１／８＋１／２^8＝２８９／２５６＝（１＋１／２^4）^2

√（１＋１／８√１＋・・・）＝１７／１６＝１＋１／２^4

（１＋１／４√（１＋１／８√１＋・・・））＝１＋１／４＋１／２^6＝８１／６４＝（１＋１／２^3）^2

√（１＋１／４√（１＋１／８√１＋・・・））＝９／８＝１＋１／２^3

（１＋１／２√（１＋１／４√（１＋１／８√１＋・・・）））＝１＋１／２＋１／２^4＝２５／１６＝（１＋１／２^2）^2

√（１＋１／２√（１＋１／４√（１＋１／８√１＋・・・）））＝５／４＝１＋１／２^2

（１＋√（１＋１／２√（１＋１／４√（１＋１／８√１−・・・））））＝１＋１＋１／２^2＝９／４＝（１＋１／２）^2

√（１＋√（１＋１／２√（１＋１／４√（１＋１／８√１−・・・））））＝１＋１／２＝３／２

であるからである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3√（１＋3√（１＋１／３3√（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１＋・・・））））＝ｘ

とすると

（１＋3√（１＋１／３3√（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１−・・・））））＝ｘ^3

3√（１＋１／３3√（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１＋・・・）））＝ｘ^3−１

（１＋１／３3√（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１＋・・・）））＝（ｘ^3−１）^3

3√（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１＋・・・））＝３｛（ｘ^3−１）^3−１｝

（１＋１／９3√（１＋１／２７3√１＋・・・））＝３^3｛（ｘ^3−１）^3−１｝^3

（１＋１／２７3√１＋・・・）＝３^2｛３^3｛（ｘ^3−１）^3−１｝^3−１｝^3

3√１＋・・・）＝３^3｛３^2｛３^3｛（ｘ^3−１）^3−１｝^3−１｝^3−１｝

とするよりは

3√１＋・・・＝１＋１／３^5

（１＋１／２７√１＋・・・）＝１＋１／２７＋１／３^8＝６９６７／６５６１

3√（１＋１／２７√１＋・・・）≠１＋１／３^4

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