■整数であるか? (その122)

  √(1+√(2+√(3+√(4+・・・))))

の収束値を具体的に求めることはできませんが,収束することは以下のようにして証明できます.

[証]

  an=√(1+√(1+√(1+√(1+・・・+√1))))   (1がn個)

  bn=√(1+√(2+√(3+√(4+・・・+√n))))

とおく.

 数列{an}はφに収束する.

  √(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=φ  (黄金比)

数列{bn}は単調増加.

 また,

  an=√(1+√(1+√(1+√(1+・・+√1))))

の両辺の√2をかけると

  √2an=√(2+√(4+√(16+・・+√2^(2^n-1)))))

  k<2^2^(k-1)

より,bn<√2an

 単調増加数列{bn}は有界でn→∞のとき収束することがわかります.

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