■整数であるか? (その112)

x^(x^x^x^x^x^・・・)=2は(x^x^x^x^x^・・・)=2であるから,x^2=2と書き変えることができて

  x=√2

すなわち√2^(√2^√2^√2^√2^√2^・・・)=2

であった。

ここでは

√(2+√(2+√(2+・・・)))=2

を示してみたい。

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 √(1+√(1+√(1+√(1+・・・))))=(1+√5)/2=φ  (黄金比)

  √(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2

は,それぞれ

  √(1+x)=x → x^2−x−1=0

  √(2+x)=x → x^2−x−2=0

として2次方程式の解より求めることができる.

同様に

k=√(m+√(m+√(m+√(m+・・・))))

の場合は,2次方程式の解の公式を使えば,m=k^2−kとすることができる.

  √(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2

  √(3+√(3+√(3+・・・)))=(1+√13)/2

  √(30+√(30+√(30+√(30+・・・))))=6

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