■整数であるか? (その84)

[Q] (a^2+b^2+1)/ab=a/b+b/a+1/abが割り切れる整数(a,b)の組み合わせを求めよ。

 1996年、シェプラーは(a,b)=(F(2n+1),F(2n-1))になることを証明した

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[Q](a^2+b^2+1)/ab=nの自然数解(a,b)を求めよ.

[A]a=F2k-1,b=F2k+1が知られている.

 確認してみたい.

F1=1,F2=1,F3=2,F4=3,F5=5,F6=8,F7=13,F8=21,F9=34

[1]k=1

 F1=1,F3=2,→ a=1,b=2

 (a^2+b^2+1)/ab=6/2=3  (OK)

[2]k=2

 F3=2,F5=5→ a=2,b=5

 (a^2+b^2+1)/ab=30/10=3  (OK)

[3]k=3

 F5=5,F7=13→ a=5,b=13

 (a^2+b^2+1)/ab=195/65=3  (OK)

[4]k=4

 F7=13,F9=34→ a=13,b=34

 (a^2+b^2+1)/ab=1326/442=3  (OK)

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