【１】タイシンガーの問題

　ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．それでは，・・・

（Ｑ）ｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せ．

　たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．

（証）２^k≦ｎとなる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)ＰＨn

　＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）

は，２^(k-1)Ｐ／２^k以外の項はすべて整数となる．

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（Ｑ）Ｓn＝１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１）

と定義すると，Ｓ1=1,Ｓ2=4/3,Ｓ3=23/15,･･･,Ｓ∞=∞となります．それでは，ｎ＞１ならば，Ｓn は整数にはならないことを示せ．

（証）３^k≦２ｎ＋１となる最大の指数をｋ，Ｐを６と互いに素かつ２ｎ＋１以下のすべての整数の積とすると，

　　３^(k-1)ＰＳn

　＝３^(k-1)Ｐ（１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１））

は，３^(k-1)Ｐ／３^k以外の項はすべて整数となる．

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　なお，これと類似の問題としては，

　　ａ）　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

は決して整数にはならない　　　（タイシンガー，１９１５年）

　　ｂ）　１／（ａ＋１）＋１／（ａ＋２）＋・・・＋１／（ａ＋ｎ）

は決して整数にはならない　　　（クルシュチャク，１９１８年）

　　ｃ）　１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）

は決して整数にはならない　　　（エルデシュ，１９３２年）

などがあげられます．

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　ところで，

　　Ｓn＝Σ1/n^2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･+1/n^2

が整数にならないことを示すのは，上の問題よりも簡単です．そもそも１＜Σ1/n^2＜２なのですから整数でないことは自明なのですが，上と同様にやってみましょう．

（証）２^k≦ｎ^2となる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)Ｐ^2Ｓn

　＝２^(k-1)Ｐ^2（１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2）

は，２^(k-1)Ｐ^2／２^k以外の項はすべて整数となる．

　Σ１／ｎ^2 ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

が収束することは１／ｎ^2＜１／（ｎ−１）ｎを用いて，次のようにして示すことができます．

（証）ｎ次部分和をＰn とすると，

　　Ｐn ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／ｎ^2

＜１＋１／１・２＋１／２・３＋・・・＋１／（ｎ−１）・ｎ

＝１＋（１／１−１／２）＋（１／２−１／３）＋・・・（１／（ｎ−１）−１／ｎ）

＝２−１／ｎ＜２

より，単調増加数列｛Ｐn ｝は有界でｎ→∞のとき収束することがわかります．

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