すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．素数とは関係はないのですが，２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に

　　ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2　　　（ｘ→∞）

　　Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・

　　ｐは４ｎ＋３型素数をわたる

が成り立つことを証明しました．

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ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．

［１］双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．

［２］１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

［３］ｎ^2＋１型素数

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

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