１^2＋１＝２　　　　　（素数）

　　２^2＋１＝５　　　　　（素数）

　　４^2＋１＝１７　　　　（素数）

　　６^2＋１＝３７　　　　（素数）

　　８^2＋１＝６５　　　　（素数でない）

　１０^2＋１＝１０１　　　（素数）

　ｎ^2＋１型素数は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

　数ｎ＝ｋ^2＋１が素数である確率は，おおよそ

　　１／ｌｏｇｎ・１／√ｎ

したがって，

　　πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．

　　Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））

　　ｎ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝１

　　ｎ^2＋１≠０　（ｍｏｄｐ）→　χ（ｐ）＝−１

　　Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・

　一般に，２次式，たとえば，

　　ｎ^2＋１型素数，ｎ^2＋２型素数

は無数にあるでしょうか？　これも無数に存在すると予想されていますが，証明はわかっていません．

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【１】ブニャコフスキー予想（１８５７年）

　ｎ^2＋１のように自明な因数をもたないｎの任意の多項式は，無限個の素数を表す．

　ｎ^2＋ｎ＋２は常に２で割り切れる．

　ｎ^2＋ｎ＋４１はｎ＝−４０〜４０に対して素数である．

　ｎ^2−ｎ＋４１はｎ＝０〜４０に対して素数である．

　ｎ^2−７９ｎ＋１６０１はｎ＝０〜８０に対して素数である．

　ｎ^2＋１９ｎ−１９は［１，４７］に対して４２個の素数を与える．

　２ｎ^3−４８９ｎ^2＋３９４８７ｎ−１０８４５５６は［１，４９９］に対して２６７個の素数を与える．

　ｎ^2＋ｎ＋２７９４１は［１，１０^6］に対して２７９４１個の素数を与える．

　４１ｎ^2＋３ｎ−４３３２１は［−５７，４２］に対して９０個の相異なる素数を与える．

　３６ｎ^2−８１０ｎ＋２７５３は［０，４４］に対して４５個の相異なる素数を与える（ルビー多項式）．

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【２】ｎ^2＋１型双子素数

　ｎ^2＋１，ｎ^2＋３が同時に素数となるｎは無限個存在すると予想されている．

　　πq（ｘ）〜Ｃ・６√ｘ／（ｌｏｇｘ）^2

　　Ｃ＝Πｐ（１−ν（ｐ））／（ｐ−１）^2

　　ν（ｐ）はｍｏｄｐでの２次剰余で，｛−１，−３｝に含まれる整数の個数

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【３】おまけ

　ζ（３）＝４π／５・｛１／６−ΣＢ2kπ^2k／（２ｋ＋３）！｝

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