連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．

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　項比は

　　ｇk+1／ｇk＝（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！・（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）

　　（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！＝（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

　したがって，連続する２ｋ＋１個の自然数の積

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

には（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個，・・・，（２ｋ）の倍数が少なくとも２個，（２ｋ＋１）の倍数が少なくとも１個あるかという問題になる．

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【１】グノモン分解による直接計算

　（ｋ＋１）！をグノモン分解するほうがわかりやすい．すなわち，

　　（ｋ＋１）^2＝１＋３＋・・・＋（２ｋ−１）＋（２ｋ＋１）

として，ｋ＋１番目のグノモンが，

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

というわけである．

　このグノモンにはｋで割ると１余る数（ｎｋ＋１），ｋで割ると２余る数（ｎｋ＋２），・・・が順に並ぶが，（ｋ＋１）の倍数，（ｋ＋２）の倍数，・・・が順に並ぶわけではない．そこで，次のように考えることにする．

　ｎ（ｋ＋１）≦ｋ^2＋１となる最大の数ｎは，ｎ＝ｋ−１であるから，連続する２ｋ＋３個の自然数よりなる区間［ｋ^2−１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個あることがわかる．（ｋ＋１）の倍数はｋ＋１個ごとに１個存在するからである．区間［ｋ^2−１，ｋ^2］には存在しないから，区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個あることになる．

　ｎ（ｋ＋２）≦ｋ^2＋１となる最大の数ｎは，ｎ＝ｋ−２であるから，連続する２ｋ＋５個の自然数よりなる区間［ｋ^2−４，ｋ^2＋２ｋ＋１］には，（ｋ＋２）の倍数が少なくとも２個あることがわかる．もっと狭めて区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には（ｋ＋２）の倍数が少なくとも２個あることになる．

　以下同様であるが，（２ｋ＋１）の倍数は２ｋ＋１個ごとに１個存在するから，連続する２ｋ＋１個の自然数よりなる区間［ｋ^2＋１，ｋ^2＋２ｋ＋１］には少なくとも１個存在する．

　これで

　　（ｋ^2＋１）（ｋ^2＋２）・・・（ｋ^2＋２ｋ＋１）

には（ｋ＋１）の倍数が少なくとも２個，・・・，（２ｋ）の倍数が少なくとも２個，（２ｋ＋１）の倍数が少なくとも１個あることが証明できたことになる．

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【２】雑感

　グノモン分解による直接計算は，家計簿つけのシーンに似ている．まず行ごとの合計を求めてそれを総計する．次に列ごとの合計を求めてそれを総計する．そして計算が正しければその２つの計算結果は一致する．２通りに計算することをこのように喩えてみたが，かえってわかりにくくなったかもしれない．

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