■整数であるか? (その67)

(Q)P2n/Pn^4=(n+1)!・・・(2n)!/{1!・2!・・・n!}^3

は整数であることを証明せよ.

 (その11)では,条件をきつくしたP2n/Pn^4(n+1)が整数であることを帰納法でしめしたが,P2n/Pn^4とした場合はどうなるのだろうか?

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[1]n=1のとき,P2/P1^4=2

[2]n=kのとき,

P2k/Pk^4=(k+1)!・・・(2k)!/{1!・2!・・・k!}^3が整数であるとする.

[3]P2k+2/Pk+1^4=(k+2)!・・・(2k+2)!/{1!・2!・・・(k+1)!}^3

=(k+1)!・・・(2k)!/{1!・2!・・・k!}^3・(2k+1)!(2k+2)!/(k+1)!{(k+1)!}^3

=P2k/Pk^4・(2k+1)!(2k+2)!/{(k+1)!}^4

=P2k/Pk^4・{(2k+2)!}^2/2(k+1){(k+1)!}^4

 ここで,

(2k+2)!}^2/{(k+1)!}^4は整数

{(2k+2)!}^2/2(k+2){(k+1)!}^4も整数  (QED)

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[雑感](その11)では条件をきつくしたP2n/Pn^4(n+1)が整数であることを帰納法でしめしたが,その方が帰納法を適用しやすくなるとはいえないようである.

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