■整数であるか? (その65)

(Q)P2n/Pn^4は整数であることを証明せよ.

Rn=(n!)^n+1/Pn^2

Rn^2=(n!)^2n+2/Pn^4

Rn^2/(n!)^2n+2=1/Pn^4

P2n・Rn^2/(n!)^2n+2=P2n/Pn^4

  P2n=1!・2!・・・n!・(n+1)!・・・(2n)!

  Rn^2={n!/0!n!・・・n!/n!0!}^2=(n!)^2n+2/{0!1!・・・n!}^4

P2n・Rn^2/(n!)^2n+2

=(n+1)!・・・(2n)!/{1!・2!・・・n!}^3

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[1]n=2kの場合

(n+1)!/0!1!n!

(n+2)!/1!1!n!

(n+3)!/1!2!n!

(n+4)!/2!2!n!=(n+4)!/2!2!(n−1)!n

(n+5)!/2!3!n!=(n+5)!/2!3!(n−1)!n

(n+6)!/3!3!n!=(n+6)!/3!3!(n−1)!n

(n+7)!/3!4!n!=(n+7)!/3!4!(n−2)!n(n−1)

(n+8)!/4!4!n!=(n+8)!/4!4!(n−2)!n(n−1)

(n+9)!/4!5!n!=(n+9)!/4!5!(n−2)!n(n−1)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(n+n)!/k!k!n!=(n+n)!/k!k!(n−x)!n(n−1)・・・(n−x+1)

 この問題は次回の宿題としたい.

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