■整数であるか? (その64)

(Q)P2n/Pn^4は整数であることを証明せよ.

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  P2n=1!・2!・・・n!・(n+1)!・・・(2n)!

  Pn^4={1!・2!・・・n!}^4

  P2n/Pn^4=(n+1)!・・・(2n)!/{1!・2!・・・n!}^3

 3項定理を使いたいのであるが,ところで,

  1からnまでの和の3倍は3n(n+1)/2

  n+1から2nまでの和は2n(2n+1)/2−n(n+1)/2

2n(2n+1)/2−n(n+1)/2−3n(n+1)/2

=n(2n+1)−2n(n+1)=−n

この差を埋めなければならない.

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  P2n/Pn^4=(n+1)!・・・(2n)!/{1!・2!・・・n!}^3

[1]n=2kの場合

(n+1)!/0!1!n!

(n+2)!/1!1!n!

(n+3)!/1!2!n!

(n+4)!/2!2!n!<(n+4)!/2!2!(n−1)!

(n+5)!/2!3!n!<(n+5)!/2!3!(n−1)!

(n+6)!/3!3!n!<(n+6)!/3!3!(n−1)!

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(n+n)!/k!k!n!<(n+n)!/k!k!(n−x)!

 項数はn.右辺に(k+1)!〜n!を3個ずつ作りたいのであるが,項数がマッチしない.

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