ｇk＝（ｋ^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k-1・・・（２ｋ−１）

において，

　　ｇ1＝１，ｇ2＝２，ｇ3＝４２，ｇ4＝２４０２４

　　ｇ5＝７０１１４９０２０

　　ｇ6＝１６７１６４３０３３７３４９６０

　　ｇ7＝４７５０７３６８４２６４３８９８７９２２８５６０

　　ｇ8＝２２０８１３７４９９２７０１９５０３９８８４７６７４８３０８５７６００

　この式は指数関数よりも階乗関数よりも速やかに増加するものと思われる．そのため，うまくいくかどうかはわからないが，ｋが非常に大きいときの近似値を与えるスターリングの漸近近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）＝√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k

を利用して，ｇkの漸近挙動を調べてみたい．

　なお，１００！＝９．３３２６２×１０^157をスターリングの公式を用いて計算すると，９．３２４８５×１０^157となる．

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【１】項比の漸近挙動

　ｇkの漸近挙動を調べる代わりに，項比についてみてみるが，項比は

　　ｇk+1／ｇk＝（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！・（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）

　　（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！

＝√（２π）（ｋ＋１）・（（ｋ＋１）^2／ｅ）^(k+1)^2／√（２π）ｋ・（ｋ^2／ｅ）^k^2

＝（１＋１／ｋ）・（１＋１／ｋ）^2^k^2・（（ｋ＋１）^2／ｅ）^(2k+1)

ここで，（１＋１／ｋ）→１，（１＋１／ｋ）^2^k^2→ｅ^2kであるから，

　　（（ｋ＋１）^2）！／（ｋ^2）！＝（ｋ＋１）^(4k+2)／ｅ

　　（ｋ＋１）^2・・・（２ｋ）^2・（２ｋ＋１）

＝（（２ｋ）！／ｋ！）^2・（２ｋ＋１）

　　（（２ｋ）！／ｋ！）^2

＝（√（２π２ｋ）・（２ｋ／ｅ）^2k／√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k）^2

＝（√２・２^k・（２ｋ／ｅ）^k）^2＝２^(4k+1)・（ｋ／ｅ）^2k

　したがって，

　　ｇk+1／ｇk

＝（ｋ＋１）^(4k+2)／ｅ・２^(4k+1)・（ｋ／ｅ）^2k（２ｋ＋１）

＝｛ｅ（ｋ＋１）／４｝^(2k+1)　〜　ｋ^2k

となって，この式は指数関数よりも階乗関数よりも速やかに増加することがわかる．

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