■整数であるか? (その62)

  gk=(k^2)!/1・2^2・・・k^k・(k+1)^k-1・・・(2k−1)

において,

  g1=1,g2=2,g3=42,g4=24024

  g5=701149020

  g6=1671643033734960

  g7=475073684264389879228560

  g8=22081374992701950398847674830857600

 この式は指数関数よりも階乗関数よりも速やかに増加するものと思われる.そのため,うまくいくかどうかはわからないが,kが非常に大きいときの近似値を与えるスターリングの漸近近似公式

  k!=√2π・k^(k+1/2)・exp(−k)=√(2πk)・(k/e)^k

を利用して,gkの漸近挙動を調べてみたい.

 なお,100!=9.33262×10^157をスターリングの公式を用いて計算すると,9.32485×10^157となる.

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【1】項比の漸近挙動

 gkの漸近挙動を調べる代わりに,項比についてみてみるが,項比は

  gk+1/gk=((k+1)^2)!/(k^2)!・(k+1)^2・・・(2k)^2・(2k+1)

  ((k+1)^2)!/(k^2)!

=√(2π)(k+1)・((k+1)^2/e)^(k+1)^2/√(2π)k・(k^2/e)^k^2

=(1+1/k)・(1+1/k)^2^k^2・((k+1)^2/e)^(2k+1)

ここで,(1+1/k)→1,(1+1/k)^2^k^2→e^2kであるから,

  ((k+1)^2)!/(k^2)!=(k+1)^(4k+2)/e

  (k+1)^2・・・(2k)^2・(2k+1)

=((2k)!/k!)^2・(2k+1)

  ((2k)!/k!)^2

=(√(2π2k)・(2k/e)^2k/√(2πk)・(k/e)^k)^2

=(√2・2^k・(2k/e)^k)^2=2^(4k+1)・(k/e)^2k

 したがって,

  gk+1/gk

=(k+1)^(4k+2)/e・2^(4k+1)・(k/e)^2k(2k+1)

={e(k+1)/4}^(2k+1) 〜 k^2k

となって,この式は指数関数よりも階乗関数よりも速やかに増加することがわかる.

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