１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）２０桁の

　　Ｆ6＝２^64＋１＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

となることを示しました．

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　次のフェルマー数Ｆ7＝２^128＋１は３９桁の数ですが，１９７５年にブリルハートとモリソンがコンピュータを使って，フェルマー数

　　Ｆ7＝５９６４９５８９１２７４９７２１７×５７０４６８９２００６８５１２９０５４７２１，

を発見しましたから，まさにランドリーは素因数分解の達人（根気と労力，忍耐と勇気）ということになります．

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　それに対して，１９０９年，モアヘッドとウェスタンはＦnが３^(Ｆn-1)/2＋１を割り切るとき（そしてそのときに限り）フェルマー素数となること用いて，Ｆ7，Ｆ8が合成数であることを示しました．

　　Ｆ7＝（１１６５０３１０３７６４６４３・２^9＋１）（１１１４１９７１０９５０８８１１４２６８５・２^8＋１）

　　Ｆ8＝（６０４９４４５１４２７７・２^11＋１）（ｋ・２^11＋１）

　　ｋは５９桁の数

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いまのところ，フェルマー数

　　Ｆn＝２^(2^n)＋１

では，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．フェルマー数（２^(2^n)＋１）に対してはメルセンヌ数におけるリュカテストと同じくらい能率的なペパンの素数判定法

　　Ｆnが素数　←→　３^{(Fn-1)/2}＝−１（ｍｏｄＦn）

があり，コンピュータを使って６番目のフェルマー素数の探索が続けられているのですが，はたして本当に存在するのでしょうか．

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