［１］メルセンヌ数２^p−１の素因数をｐで割ると１余る素数になる．

さらに

［２］ｐが４で割って３余り，２ｐ＋１が素数（ソフィー・ジェルマン素数）ならば，２^p−１は２ｐ＋１で割り切れる．

　素因数を見つけることなく，直接メルセンヌ素数の判定法がリュカ・レーマーの判定法「数列ＳnをＳ1＝４，Ｓn+1＝Ｓn^2−２で定める．ｐが奇数の素数のとき，２^p−１が素数であるための必要十分条件はＳp-1が２^p−１で割り切れること」である．

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【１】リュカ・レーマーの判定法と２重指数型公式

　　ｇn+1＝（ｇn）^2−２，ｇ0＝４

は，メルセンス数の素数性判定のために用いられる数列である（リュカ・レーマーの判定法）．

　　ｇn+1＝（ｇn）^2−２，ｇ0＝ｍ

とする．

　２重指数型公式

　　ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)

のω1，ω2は掛けて１，足してｍとなる必要があることから，

　　ω1＝ｍ／２＋√ｃ

　　ω2＝ｍ／２−√ｃ

　　ｍ^2／４−ｃ＝１→ｃ＝ｍ^2／４−１

　　（ｍ，ｃ）＝（４，３），（６，８），（８，１５），・・・

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　　ｇn+1＝（ｇn）^2＋２，ｇ0＝ｍ

の場合，掛けて−１であっても，

　　２（ω1ω1）^(2^n)＋２≠０

なので

　　ω1＝ｍ／２＋√ｃ

　　ω2＝ｍ／２−√ｃ

　　ｍ^2／４−ｃ＝−１→ｃ＝ｍ^2／４＋１はＮＧである．

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