［Ｑ］（１５！）^2＝？　　（ｍｏｄ３１）

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［Ａ］ウィルソンの定理より(p-1)!=-1 (modp)

(p-1)!=[1・(p-1)][2・(p-2)][3・(p-3)]・・・[(p-1)/2・(p+1)/2]

p-1=-1 (modp)

p-2=-2 (modp)・・・

[1・(p-1)]=-[1・1]

[2・(p-2)]=-[2・2]

したがって、p=4k+3のとき

(p-1)!=[1・(p-1)][2・(p-2)][3・(p-3)]・・・[(p-1)/2・(p+1)/2]=[1・1][2・2]・・・[(p-1)/2・(p-1)/2]

(p-1)!=-{(p-1)/2!}^2=-1

検してみる

3!=1 (mod5)

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(p-1)!=-{((p-1)/2)!}^2=-1 (modp)

31!=-(15!)^2=-１　(mod31)

(15!)^2-1=0　(mod31)

{(15!)^2-1}/31は整数である

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