■整数であるか? (その10)

[Q]100!/10^25は整数であるか?

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[1]10,20,30,40,50,60,70,80,90,100・・・0が11個

[2]8・5=40,4・15=60,6・25=150,・・・

8・5=2・2・2・5=(2・2)・(2・5)=40

4・15=2・2・3・5=(2・3)・(2・5)=60

6・25=2・3・5・5=(3・5)・(2・5)=150

つまり,素因数分解の中に2と5があればそれらを組み合わせて10ができる.

さらに単純に100!が5で何回割り切れるかを考えればよいことがわかる.なぜなら,100!が5で割り切れる回数よりも100!が2で割り切れる回数の法がずっと多いからである.したがって,5で割り切れる数は

[3]5,10,15,・・・,90,95,100→20個

[4]25,50,75,100は→5で2回割り切れる.

[5]100!は5で24回割り切れる→100!の最後には0が24個並ぶ.

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[Q]100!/10^25は整数であるか?

[A]10は2と5の倍数である.1から100までの間に2の倍数はたくさんあるが,5の倍数はいくつあるだろうか?

  [100/5]=20

 25,50,75などは25で割り切れて,ここにもうひとつ,5の倍数が隠れていると考えると

  [100/5]+[100/5^2]=20+4=24

 5の倍数の個数=10の倍数の個数と考えることができるから,10の倍数は24個.したがって,100!/10^24は整数であるか,100!/10^25は整数とはならない.

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[Q]1000!/10^250は整数であるか?

[A]同様にして,

  [1000/5]+[1000/5^2]+[1000/5^3]+[1000/5^4]=200+40+8+1=249

 10の倍数は249個.したがって,1000!/10^249は整数であるか,1000!/10^250は整数とはならない.

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