［Ｑ］１０００！／１０^250は整数であるか？

［Ａ］　　［１０００／５］＋［１０００／５^2］＋［１０００／５^3］＋［１０００／５^4］＝２００＋４０＋８＋１＝２４９

　１０の倍数は２４９個．したがって，１０００！／１０^249は整数であるか，１０００！／１０^250は整数とはならない．

　それでは

［Ｑ］１０００！＝？　　（ｍｏｄ１０^250）

［Ａ］　　ｅ2（１００！）＝［１００／２］＋［１００／２^2］＋［１００／２^3］＋［１００／２^4］＋［１００／２^5］＋［１００／２^6］＝９７

　　ｅ2（１０００！）＞５００

　　ｅ5（１０００！）＞２４９

　したがって，ある偶数ａがあって，

　　１０００！＝ａ・１０^249

また，１０００＝（１３０００）5より

　　ａ・２^249＝１０００！／５^249＝−１　（ｍｏｄ５）

　　２^249＝２　（ｍｏｄ５）

　　ａ＝２　（ｍｏｄ１０）→ａ＝２または７　（ｍｏｄ１０）

　　ａは偶数であるから，ａ＝２．

　　１０００！＝２・１０^249　　（ｍｏｄ１０^250）

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［Ｑ］１！＋２！＋３！＋・・・＋１０００！　　（ｍｏｄ１０）

［Ａ］　　１＋２＋６＋２４＋１２０＋７２０＋・・・

＝１＋２＋６＋２４＋Σ１０ｋ

＝３３＋１０ｎ

１！＋２！＋３！＋・・・＋１０００！＝３　　（ｍｏｄ１０）

［Ｑ］１！＋２！＋３！＋・・・＋１０００！　　（ｍｏｄ１０^2）

［Ａ］　　１＋２＋６＋２４＋１２０＋７２０＋・・・＋９！＋

＝１＋２＋６＋２４＋１２０＋７２０＋・・・＋９！＋Σ１００ｋ

＝１＋２＋６＋２４＋１２０＋７２０＋５０４０＋４０３２０＋３６２８８０

　下３桁のみを計算すると・・・

＝３３＋２０８０＝２１１３

１！＋２！＋３！＋・・・＋１０００！＝１３　　（ｍｏｄ１０^2）

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