【１】ベルトランの仮説とリーマン予想の間に何がある

　ｎと２ｎの間に素数がある（あるいはｎが十分大きければｎと１．５ｎの間に素数がある）は，リーマン予想＝「ｎとｎ＋ｋ√ｎの間に素数はある」に較べればずいぶん粗い結果ですが，高度の数学を使わずにかなりの結果が導かれるという一例になっています．

ベルトランの仮説は、任意のｎにおいて

　　pn+1-pn＜=pn

と書くことができますが、すべての十分に大きいｎに対して

　　pn+1-pn＜=pn^(21/40)

が証明されています。

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　ところで，ルジャンドルの予想

　　「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」

は未解決問題として知られています．

もし、この上界が強化され、すべてのｎに対して

　　pn+1-pn＜=2pn^(1/2)

とできるならば、ルジャンドルの予想はｍ^2より小さい最大の素数をpnとすると、

m^2＜=pn＜m^2+2m

逆に、ルジャンドルの予想は、すべてのｎに対して

　　pn+1-pn＜=4pn^(1/2)+4

を示唆する。(m-1)^2＜pn＜m^2,pn+1＜(m+1)^2から

　　pn+1-pn＜4m

が得られる。

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