［１］フェルマーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しました．しかし，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

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素数を４で割った余りと素数が2つの平方数で表せる可能性とは、元来、まったく関係ないはずであるが、この定理の意義は複素数に範囲を広げた因数群会

　　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙi）（ｘ−ｙi）

を考えると理解される。すなわち、ｐを４で割って1余る素数は複素数(ガウスの整数環）に範囲を広げると素数であり続けることはできず、分解されてしまうのである。

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ｐを３以上の素数とする。ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ、ｙが存在すればｐを４で割った余りは１である。

(証明)

（ｘ、ｙ）＝(偶数、偶数)→ｐを４で割った余りは０である。

（ｘ、ｙ）＝(偶数、奇数)→ｐを４で割った余りは１である。

（ｘ、ｙ）＝(奇数、偶数)→ｐを４で割った余りは１である。

（ｘ、ｙ）＝(奇数、奇数)→ｐを４で割った余りは２である。

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２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーは，

「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することも発見しています．(類体論)

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