一般に、４で割ったときに１余る素数ｐは,ただ一つの方法で２平方和で書くことができ、２つの複素数の積の形に分解されて書き表すことができます

ｐ=x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)

(x+yi),(x-yi)はガウス素数であって、単数1,-1,i,-iを考えなければただ一つの方法で、ガウス素数の積に分解されます。ガウス整数の世界でも素因数分解の一意性が成り立つというわけです。

一方、４で割ったときに３余る素数ｐは,そのままガウス素数になります

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x^3-y^3=(x-y)(x-yω)(x-yω^2)

x=2,y=1→7=(2-ω)(2-ω^2)

x=3,y=1→26=2(3-ω)(3-ω^2)→13=(3-ω)(3-ω^2)

3で割ったときに１余る素数pはただ一つの方法でx^2-xy+y^2=(x+yω)(x+yω^2)(の形で書くことができ、２つの複素数の積の形に分解されて書き表すことができます

3で割ったときに2余る素数pはこのように分解することはありません。

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