整数係数・有理数係数という制限を取り払うと，因数分解可能になる式があります．たとえば，

　　ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１

は，無理数である黄金比：τ＝（√５＋１）／２，τ^(-1)＝（√５−１）／２を用いると

　　（τｘ−τ^(-1)ｙ−１）（τ^(-1)ｘ−τ^(-1)ｙ＋１）

と因数分解できます．

　さらに実数という制限も外してみることにしましょう．

　　ｘ^2＋ｙ^2

を実数の世界で因数分解することはできませんが，複素数を使うと

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

のように因数分解できます．また，

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ

は，ω（１の虚立方根）＝（ｉ√３−１）／２を用いると

　　（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

と書くことができます．

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2

は複素数の助けを借りても因数分解できませんが，４元数を用いると，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）

ですから，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2

のように因数分解できます．

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素数は分解されることはないのですが、分解される範囲が複素数まで拡大されるのであれば、２つの積の形に分解されて書き表すことができます

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