■直観幾何学研究会2024(その55)

 Lmを原点からの距離が一定値√mとなる点の集まりとすると

  1/√m・Lm

は単位球面上の有限集合である.この中に良い配置をとるものが存在する.

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【1】ヴェンコフの定理

 ユニモジュラー偶格子Lnにおいて,nは必ず8の倍数でなければならない.

このとき各偶数におけるL2mは,

[1]n=0  (mod24)のとき,11デザイン

[2]n=8  (mod24)のとき,7デザイン

[3]n=16 (mod24)のとき,3デザイン

[補]

  S^5のE6ルート系格子   5デザイン

  S^6のE7ルート系格子   5デザイン

  S^7のE8ルート系格子   7デザイン

  S^23のリーチ格子     11デザイン

  いまのところ,12デザインは見つかっていない.

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【2】ヴェンコフの定理

 7デザインという意味は少なくとも7という意味であり,さらに大きいデザインになるものも存在する.たとえば,・・・

 L2mをE8ルート格子Lの殻とする.このとき,L2mが8デザインとなることな,ラマヌジャンの分割関数 τ(m)≠0 であることと同値である.

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[補]Z^2格子(3デザイン)は決して4デザインにならない.

   A2格子(5デザイン)は決して6デザインにならない.

 どのような2次元格子であっても,決して6デザインにならない.

 どのような3次元格子であっても,決して4デザインにならない.

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