■直観幾何学研究会2024(その52)

 一松信先生に「良い配置」について教えていただきました.「良い配置」とは任意の次元の半径1の球面上の有限個の点集合Kで,f(x)が2次式以下の多項式のとき,積分がKの点上の値の平均値に等しい

  ∫(S)f(x)dσ=Σf(P)/#(K)

  dσは∫(S)dσ=1と標準化した面積分

が成立する集合です.

 f(x)として,特定の頂点からの距離の2乗−定数(全体の積分が0になるように定数を選ぶ)とした場合,それを各頂点について加えた形が

  SS=v^2

に相当します.

 正多面体の頂点の集合が「よい配置」であることはかなり以前より知られていますが,正多面体でない準正多面体でも3次元の立方八面体や12面・20面体など,この性質をもつ多面体は多数あります.

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