正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

5次元正単体の場合

P1:(1,0,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0,0)

P4:(0,0,0,1,0,0)

P5:(0,0,0,0,1,0)

P6:(0,0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5,0),・・・

全体の中心は(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)

1辺は√2になります。

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6次元正単体の7頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x6=X(x4-x5),x4-x7=X(x5-x6)・・・対角線の長さXとなるための条件

X=1+2cos(180-180(7-2)/7)=1+2cos(360/7)

一般に X=1+2cos(360/(N+1))

正方形の場合は式が異なり、X=2cos(45)=√2

正五角形の場合はX=1+2cos(360/5)=1+(√5-1)/2=τ

正六角形の場合はX=1+2cos(360/6)=1+1=2

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例えば、面P1P2P3P4P5はx1+x2+x3+x4+x5=1,x6=0,x7=0上にあり、

x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3=X(x4-x5),x4=X(x5)

との共有点は

x4=X(x5),x3=X(X-1)x5={X^2-X}x5,x2=X{X^2-X-X}x5+x5={X^3-2X^2+1}x5,

x1=X{X^3-2X^2+1-X^2+X}x5+Xx5={X^4-3X^3+X^2+2X}x5をx1+x2+x3+x4+x5=1に代入すると

(X^4-2X^3+2X+2)x5=1

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x5=1/(X^4-2X^3+2X+2)

x4=X/(X^4-2X^3+2X+2)

x3={X^2-X}/(X^4-2X^3+2X+2)

x2={X^3-2X^2+1}/(X^4-2X^3+2X+2)

x1={X^4-3X^3+X^2+2X}/(X^4-2X^3+2X+2)

この中のいくつかは等しいと思われるが・・・

(X-1)/2=cos(360/7)=cosθ

cos(3θ)=cos(4θ)より

4{(X-1)/2}^3-3{(X-1)/2}=8{(X-1)/2}^4-8{(X-1)/2}^2+1

8{(X-1)}^3-24{(X-1)}=8{(X-1)}^4-32{(X-1)}^2+16

{(X-1)}^3-3{(X-1)}={(X-1)}^4-4{(X-1)}^2+2

x^3-3x^2+3x-1-3x+3=x^4-4x^3+6x^2-4x+1-4x^2+8x-4+2

x^3-3x^2+2=x^4-4x^3+2x^2+4x-1

x^4-5x^3+5x^2+4x-3=0→X=3を解に持つはずである。(x-3)(x^3-2x^2-x+1)=0

x^4-3x^3+x^2+2x=2x^3-4x^2-2x+3

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{(X-1)}^3-3{(X-1)}={(X-1)}^4-4{(X-1)}^2+2

Y=(X-1)

Y^4-Y^3-4Y^2+3Y+2=0

(Y-2)(Y^3+Y^2-2Y-1)=0

Yは2ではないので(Y^3+Y^2-2Y-1)=0

{(X-1)}^3+{(X-1)}^2-2{(X-1)}-1=0

X^3-3X^2+3X-1+X^2-2X+1-2X+2-1=0

X^3-2X^2-X-1=0, X^3=2X^2+X+1→ここに誤り

X^3-2X^2-X+1=0, X^3=2X^2+X-1→訂正

x^4-3x^3+x^2+2x=2x^3-4x^2-2x+3=4X^2+2X-2-4X^2-2X+3=1

X^3-2X^2+1=2X^2+X-1-2X^2+1=X

x1=x5,x2=x4

(X^4-2X^3+2X+2)=5x^3-5x^2-4x+3-2X^3+2X+2=3x^3-5X^2-2x+5

=3(2X^2+X-1)-5X^2-2x+5=x^2+x+2

x5=1/(X^2+X+2)

x4=X/(X^2+X+2)

x3={X^2-X}/(X^2+X+2)

x2=X/(X^2+X+2)

x1=1/(X^2+X+2)

x1+x2+x3+x4+x5=1

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P1P5の中点(1/2,0,0,0,1/2,0,0)

P2P4の中点(0,1/2,0,1/2,0,0,0)

をX:1に内分した点

1/(x+1)・｛(1/2,0,0,0,1/2,0,0)+X(0,1/2,0,1/2,0,0,0)｝

=｛(1/2(x+1),x/2(x+1),0,x/2(x+1),1/2(x+1),0,0)｝

とP3(0,0,1,0,0,0,0}をｙ：1に内分した点

1/(ｙ+1)・｛(1/2(x+1),x/2(x+1),0,x/2(x+1),1/2(x+1),0,0)+y(0,0,1,0,0,0,0)}

=｛(1/2(x+1)(y+1),x/2(x+1)(y+1),y/(y+1),1/2(x+1)(y+1),x/2(x+1)(y+1),0,0)

y:1/2(x+1)=(X^2-X):1

y=(X^2-X)/2(x+1)

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この点は投影図上、正七角形の中心と頂点を結ぶ線上にあると思われる。

正四面体の場合を除いて

4次元単体：頂点から対辺までを2：τに内分する

5次元単体：

P1P4の中点(1/2,0,0,1/2,0,0)→中心に投影される

P2P3の中点(0,1/2,1/2,0,0,0)

を2：1に内分した点

投影図上は正六角形の中心と辺の中点を結ぶ線を2：1に内分した点である。

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