ゴールドバーグは正三角柱を充填できる四面体は，

　３ａ^2−３ｂ^2＋ｃ^2＝０

を満足することを発見しているが，それの高次元版

３次元の場合，３ａ^2−３ｂ^2＋ｃ^2＝０

４次元の場合，４ａ^2−６ｂ^2＋４ｃ^2−ｄ^2＝０

５次元の場合，５ａ^2−１０ｂ^2＋１０ｃ^2−５ｄ^2＋ｅ^2＝０

６次元の場合，６ａ^2−１５ｂ^2＋２０ｃ^2−１５ｄ^2＋６ｅ^2−ｆ^2＝０

を発見することができた．これらは簡単な整数係数式になっている．

　これらの一般化は，特別な場合の数値から帰納的・実験的（？）に未定係数法的な実験式として求められた．結果は正しいようであるが，同一の値を与える同値でない公式が複数個あり得る．必要条件式なのか必要十分条件式なのかという意味において，数学の問題の正解はひとつとは限らないのである．

　ただし，位相幾何学的な公式ではなく，対称性に基づく深い理論的根拠をもっている．証明はこの議論を少し深くすれば正しくできそうに感じられる．

　（ｍ^2，ｈ^2）システムからも同じ結果を導き出すことはできるだろうか？

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【１】△3 in △2

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（０，０，３ｈ）

　　Ｐ2（ｍ／√２，ｍ√３／√２，２ｈ）

　　Ｐ3（２ｍ／√２，０，ｈ）

とおくと

　　Ｐ0Ｐ1^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ2^2＝２ｍ^2＋４ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ3^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ2^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ3^2＝２ｍ^2＋４ｈ^2

　　Ｐ2Ｐ3^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

２ｍ^2＋ｈ^2（３）＜２ｍ^2＋４ｈ^2（２）

９ｈ^2（１）

ここで，

　　９ｈ^2＝２ｍ^2＋ｈ^2，ｍ^2＝４ｈ^2

　　９ｈ^2＝２ｍ^2＋ｈ^2＝３，ｈ^2＝１／３，ｍ^2＝４ｈ^2＝４／３

ならば△3

　　Ｐ0Ｐ1^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ2^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ3^2＝１２ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ2^2＝１２ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ3^2＝９ｈ^2

　　Ｐ2Ｐ3^2＝９ｈ^2

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２ｍ^2＋ｈ^2（３）＜２ｍ^2＋４ｈ^2（２）

９ｈ^2（１）

ａ^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

ｂ^2＝２ｍ^2＋４ｈ^2

ｃ^2＝９ｈ^2

ｈ^2を消去すると

ａ^2−２ｍ^2＝（ｂ^2−２ｍ^2）／４＝ｃ^2／９（＝ｈ^2）

ｍ^2を消去すると

ａ^2−２ｍ^2＝ｃ^2／９

（ｂ^2−２ｍ^2）／４＝ｃ^2／９

（ｂ^2−ｃ^2／９−ａ^2）／４＝ｃ^2／９

（９ｂ^2−ｃ^2−ａ^2）／４＝ｃ^2

（９ｂ^2−ｃ^2−ａ^2）＝４ｃ^2　　（ＮＧ）

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ｂ^2，ｃ^2をａ^2，ｍ^2で表すと

ｂ^2＝４ａ^2−６ｍ^2

ｃ^2＝９ａ^2−１８ｍ^2

ｍ^2を消去すると

３ｂ^2＝１２ａ^2−６ｍ^2

ｃ^2＝９ａ^2−１８ｍ^2

３ｂ^2−ｃ^2＝３ａ^2　　（ＯＫ）

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